Diferença entre MMC E MDC

Muitas vezes ao resolver uma equação ou um problema matemático recorremos as seguintes definições de mmc e mdc, ou melhor recorremos ao processo de resolução, mesmo sem saber do que se trata. É comum alunos me perguntarem se tira mdc quando na verdade deveriam utilizar o mmc e virce versa, o que acontece é que em muitos campos da matemática agimos de forma tão mecânica que o que de fato importa em determinado conceito não é absorvido, o mmc então é muito simples saber que significa minímo múltiplo comum e o mdc máximo divisor comum, mas porque não poderia ser mmc máximo múltiplo comum e o mdc menor divisor comum? Você sabe responder esta pergunta? Sei que a moiria agora está pensando talvez até encontrem a resposta, pois é muito simples, quando falamos em múltiplos sabemos que eles são inifinitos daí então não teria nunca como encontrar o maior, já encontrar o menor é apenas analisar se tal número é multiplo de certos números, da mesma forma podemos verificar que o menor divisor é único, pois seria o 1, pois ele é divisor universal, divide todo e qualquer número, daí então se faz necessário encontrar aquele que é o maior entre dois números quaisquer. Geralmente utilizamos o mmc para fazer operações com frações onde nos deparamos com denominadores diferentes o que impossibilita uma soma ou subtração, mas também pode ser usado na resolução de problemas, já o mdc é mais usado nas resoluções de problemas. Abraços, qualquer dúvida estou por aqui!